在数列{an}中a1=1,从第二项起,每一项的差依次组成首项为2且公比为q(q>0)的等比数列.（1）当q=1时,证明数列{an}是等差数列（2）当q=2,求数列{n(an)}的前n项和Sn

Question

在数列{an}中a1=1,从第二项起,每一项的差依次组成首项为2且公比为q(q>0)的等比数列.
（1）当q=1时,证明数列{an}是等差数列
（2）当q=2,求数列{n(an)}的前n项和Sn

Answer 1

1.由题目得,设bn=2q^（n-1）=an+1-an
若q=1则
bn=bn-1
所以an+1-an=an-an-1
an+1+an-1=2an
所以{an}为等差数列
2.若q=2,则an+1-an=2^n,所以
an-an-1=2^n-1.
a2-a1=2,累加,得
an+1=2^(n+1)-1
所以an=(2^n)-1
所以nan=n（2^n)-n
令cn=n（2^n)
则Scn=2+2*2^2+3*2^3+.+n*2^n
2Scn=2*2+2*2^3+.n*2^n+1
2Scn-Scn=Scn=(n*2^n+1)-2-2^2-2^3-.-2^n=（n*2^n+1）-2^(n+1)+1
{-n}前n项和S{-n}=-(1+n)n/2
所以Sn=（n*2^n+1）-2^(n+1)+1-(1+n)n/2