设数列{an}的前n项和为Sn=2an-2^n 求：a1,a4 证明：{a（n+1）-2an}是等比数列 求{an}通项公式

Question

设数列{an}的前n项和为Sn=2an-2^n 求：a1,a4 证明：{a（n+1）-2an}是等比数列 求{an}通项公式

Answer 1

1.
因为数列{an}的前n项和Sn=2an-2^n.(1)
所以S(n+1)=2a(n+1)-2^(n+1).(2)
(2)-(1)得a(n+1)=2a(n+1)-2an-2^n
所以a(n+1)-2an=2^n
所以(a(n+2)-2a(n+1))/(a(n+1)-2an)=2^(n+1)/2^n=2
所以数列{a(n+1)-2an}是等比数列
2.
因为a(n+1)-2an=2^n
两边同时除以2^(n+1)得a(n+1)/2^(n+1)-an/2^n=1/2
所以数列{an/2^n}是个等差数列,公差为d=1/2
因为Sn=2an-2^n
所以S1=2a1-2^1 即a1=2a1-2^1 故a1=2
所以数列{an/2^n}的首项是a1/2^1=2/2=1
所以an/2^n=a1/2^1+(n-1)d=1+(n-1)/2=(n+1)/2
所以an=(n+1)*2^(n-1)
3.
a1=2 a4=(4+1)*2^(4-1)=5*8=40