若不等式x^2-xlnx>ax-2在(0,+∞)上恒成立,求a的范围在学导数……

Question

若不等式x^2-xlnx>ax-2在(0,+∞)上恒成立,求a的范围
在学导数……

Answer 1

解由x^2-xlnx>ax-2在(0,+∞)上恒成立
即x^2-xlnx+2>ax在(0,+∞)上恒成立
即ax＜x^2-xlnx+2在(0,+∞)上恒成立
即a＜x-lnx+2/x在(0,+∞)上恒成立
即设y=x-lnx+2/x x属于(0,+∞)
即a＜x-lnx+2/x的最小值,
下面求y=x-lnx+2/x 在x属于(0,+∞)的最小值
y′=（x-lnx+2/x）′
=1-1/x-2/x²
=（x²-x-2）/x²
令y′=0
即 x²-x-2=0
即（x-2）（x+1）=0
解得x=2或x=-1（舍去）
故当x属于（0,2）时y′=（x²-x-2）/x²＜0
当x属于（2,正无穷大）时y′=（x²-x-2）/x²＞0
即当x=2时,y有最小值y（2）=2-ln2+2/2=3-ln2
即a＜3-ln2