等差数列an的首项是a1=1,公差d>0,且第二项,第五项,第十四项已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{bn}的第2项,第3项,第4项.1,求an通项公式2,设bn=1/n(an+3),Sn=b1+b2.+bn

Question

等差数列an的首项是a1=1,公差d>0,且第二项,第五项,第十四项
已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{bn}的第2项,第3项,第4项.
1,求an通项公式
2,设bn=1/n(an+3),Sn=b1+b2.+bn,问是否存在最大的整数t,使得对任意的n均有sn>t/36总成立?请求出t.

Answer 1

①等差数列{an}的首项a1=1,d>0,且第2项,第5项,第14项分别是
a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d
a2,a5,a13分别是等比数列{bn}的第2项,第3项,第4项
(a5)^2=a2*a13
(1+4d)^2=(1+d)*(1+13d)
d=0(舍去）d=2
an=1+(n-1)*2=2n-1
②bn=1/2n(n+1)
sn=1/2[1/(1×2)+1/(2×3)+.1/n(n+1)]
=1/2[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.1/n-1/(n+1)]
=1/2[1-1/(n+1)]=n/(2n+2)
假设存在整数t 使sn>t/36
而s(n+1)-sn=1/2(n+2)(n+1)>0
所以sn递增的 最小值s1=1/4
所以sn>1/4恒成立,得t<9时sn>t/36恒成立
又因为t为整数,所以存在t=8使得对任意的n均有sn>t/36总成立