下列五个命题：（1）Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列；（2）若{an}成等差数列，且常数c＞0，则数列{can}为等比数列；（3）常数列既是等差数列，又是等比数列

Question

下列五个命题：
（1）S_n是等比数列{a_n}的前n项和且S_n≠0，S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比数列；
（2）若{a_n}成等差数列，且常数c＞0，则数列{can}为等比数列；
（3）常数列既是等差数列，又是等比数列；
（4）等比数列{a_n}的前和为Sn＝(a1(1−qn))/(1−q)；
（5）若数列{a_n}的前n项和Sn＝3n−c，则c=1是{a_n}为等比数列的充分必要条件；
其中是正确命题的序号为______．（将所有正确命题的序号都填上）．

Answer 1

∵(S2n−Sn)/(Sn)=((a1(1−q2n))/(1−q)−(a1(1−qn))/(1−q))/((a1(1−qn))/(1−q))=qⁿ，
(S3n−S2n)/(S2n)=((a1(1−q3n))/(1−q)−(a1(1−q2n))/(1−q))/((a1(1−q2n))/(1−q))=qⁿ，
∴S_n是等比数列{a_n}的前n项和且S_n≠0，S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比数列，
故（1）正确；
∵{a_n}成等差数列，且常数c＞0，
∴(cn+1)/(cn)=(can+d)/(can)=c^d，
∴数列{can}为等比数列，
故（2）正确；
由0构成的常数列是等差数列，但不是等比数列，
故（3）不正确；
当等比数列{a_n}的公比q=1时，等比数列的前n项和为S_n=na₁，
故（4）不正确；
∵数列{a_n}的前n项和Sn＝3n−c，
∴a₁=S₁=3-c，a₂=S₂-S₁=9-3=6，a₃=S₃-S₂=27-9=18，
∵{a_n}是等比数列⇔36=（3-c）×18，
解得c=1，
∴c=1是{a_n}为等比数列的充分必要条件，
故（5）正确．
故答案为：（1）（2）（5）．