设椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且2F1F2（向量）+F2Q（向量）=0,求过A,Q,F2三点的圆恰好与直线l：x-√3y-3

Question

设椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且2F1F2（向量）+F2Q（向量）=0,求过A,Q,F2三点的圆恰好与直线l：x-√3y-3=0相切.过定点M（0,2）的直线L1与椭圆C交于G,H两点（点G在点M,H之间）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线L1的斜率k＞0,在x轴上是否存在点P（m,0）,使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出m的取值范围,如果不存在,请说明理由；
（2）若实数λ满足MG（向量）=λMH（向量）,求λ的取值范围

Answer 1

（1）由2F1F2(向量)+F2Q(向量)=0可得,
|F2Q|=2|F1F2|,即F1为F2Q的中点
又AQ⊥AF2,∴AF1=F1F2=2c
∴过直角三角形AQF2三顶点的圆,实际上是以F1(-c,0)为圆心,以F1F2为半径
该圆与直线l：x-√3y-3=0相切,则圆心到直线l的距离为d=F1F2
即d=|-c-3|/√(1+3)=|c+3|/2=(c+3)/2=F1F2=2c,∴解得 c=1
又顶点A=A(0,b),AF1=F1F2=2c
∴√(c^2+b^2)=2c,解得b=√3c=√3,a=√(b^2+c^2)=2c=2
∴椭圆方程为 x^2/4+y^2/3=1
（2）设P(m,0)关于直线L1的对称点为P',
则□PGP'H为菱形时,有PG=PH,
∴P点实际上是GH的中垂线与x轴的交点
将直线L1：y=kx+2代入椭圆方程,并整理得
(3+4k^2)x^2+16kx+4=0                  (1)
由韦达定理有：x1+x2=-16k/(3+4k^2)
y1+y2=k(x1+x2)+4=12/(3+4k^2)
∴GH中点为K((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)=K(-8k/(3+4k^2),6/(3+4k^2))
GH中垂线方程为y-6/(3+4k^2)=-1/k*(x+8k/(3+4k^2))
令y=0可解得中垂线与x轴交点的横坐标为
m=x=-2k/(3+4k^2)
直线L1的斜率k>0的取值范围为从y轴(k->+∞)到与椭圆的切线斜率(k->k0)
直线L1与椭圆相切时,方程(1)有唯一解
即k>0时,方程(1)有△=(16k)^2-4*4(3+4k^2)=0
解得切线斜率k0=1/2
∴直线L1的斜率k的取值范围为(1/2,+∞)
由此可得m的取值范围为(-1/4,0)
（3）由于点G在点M,H之间,
∴向量MG与向量MH同向,即有λ>0
又由于2>√3,即点M在椭圆外,
∴总有|MH|>|MG|,即有λ<1
当k->+∞,即直线L1趋近于y轴时,λ取得最小极限值
此时,MG->MA=2-b=2-√3,MH->MA+2b=2+b=2+√3
∴此时λ=MG/MH->(2-√3)/(2+√3)=7-4√3
∴λ的取值范围为 (7-4√3,1)