limx趋于负无穷1/[x(x+√x^2-4）]我把分子分母同除以x的平方算出来是0.但是正确答案是1/2.问；到底怎么做的,我错在哪里

Question

limx趋于负无穷 1/[x(x+√x^2-4）]
我把分子分母同除以x的平方算出来是0.但是正确答案是1/2.问；到底怎么做的,我错在哪里

Answer 1

按照你的做法：
lim(x→-∞) 1/[x(x+√x^2-4)]
=lim(x→-∞) (1/x) / (x+√x^2-4)
其中分子是0,分母是-∞,这是未定型,∵0/∞是未知型的,不能判断
注意到：
(x-√x^2-4)(x+√x^2-4)
=x²-x²+4
=4
∴
原极限=
lim(x→-∞) (x-√x^2-4)/(4x)
=(1/4)lim(x→-∞) [x-√(x²-4)]/x
=(1/4)lim(x→-∞) [1+√(1-4/x²)] （注意因为x→-∞,因此进入根号时要变符号）
上式中,显然4/x²的极限为0,因此：
lim(x→-∞) (x-√x^2-4)/(4x)
=(1/4)lim(x→-∞) [1+√(1-4/x²)]
=(1/4)(1+1)
=1/2