已知,四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC,∠ADC=90°,∠BCD=78°,AB=2AD,求∠DAC度数

Question

已知,四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC,∠ADC=90°,∠BCD=78°,AB=2AD,求∠DAC度数

Answer 1

∠DAB=∠B=(360°-∠BCD-∠D)/2=(360°-78°-90°)/2=96°.
运用正弦定理,在△ABC中有:AD/sin∠ACD=AC/sin∠D ---(1)
在△ADC中有：AB/sin∠ACB=AC/sin∠B -----(2)
(1)÷(2)得：sin∠ACB/（2sin∠ACD）=sin∠B/sin∠D ---（3）.
将∠ACB=78°-∠ACD、 ∠B=96°、∠D=90°代入（3）
得:sin(78°-∠ACD)/(2sin∠ACD)=sin96°/sin90°
→(sin78°cos∠ACD-cos78°sin∠ACD)/sin∠ACD=2sin96°
→sin78°cot∠ACD-cos78°=2sin96°
→cot∠ACD=(2sin96°+cos78°)/sin78°≈2.246.
∵∠ACD+∠DAC=90°,∴tan∠DAC=cot∠ACD≈2.246.
得：∠DAC=66°