数列{An}中,A1=1,A(n+1)=2an+1.1.求{An}的通项公式.2.设Cn=(n+1)/(An+1)求{Cn}的前n项和Sn.

Question

数列{An}中,A1=1,A(n+1)=2an+1.
1.求{An}的通项公式.
2.设Cn=(n+1)/(An+1)求{Cn}的前n项和Sn.

Answer 1

1.由A(n+1)=2An+1两边同时加1得,
A(n+1)+1=2An+2=2（An+1）,
所以 [A(n+1)+1]/(An+1)=2,又An=1,An+1=2
因此数列(An+1)是一个以2为首项,2为公比的等比数列,
其通项公式为：An+1=2^n,（2的n次方）
所以An=2^n-1.
2.Cn=(n+1)/(An+1)=(n+1)/2^n,C(n-1)=n/2^(n-1),C1=1
则2Cn-C(n-1)=2(n+1)/2^n-n/2^(n-1)=(n+1)/2^(n-1)-n/2^(n-1)=1/2^(n-1),采用叠加法,
得到：2（Cn+C(n-1)+C(n-2)+...+C2）-（C(n-1)+C(n-2)+...+C1）=[1-(1/2)^(n-1)]*2
所以,2（Sn-C1）-（Sn-Cn）=[1-(1/2)^(n-1)]*2=2-1/2^(n-2)
即,Sn=2-1/2^n+2C1-Cn=2-1/2^(n-2)+2-(n+1)/2^n=4-(n+5)/2^n.
方法就是这样了,下标太乱,不知道有没有出问题