设x1,x2是关于方程x^2-(k+2)x+2k+1=0的两实根（1）、k是何指时,（x1）^2+(x2)^2有最小值?求出此时……方程的两根（2）当（x1）^2+(x2)^2=11时,求做一个关于x的方程,使它的一个根为x1+x2,另一个根为

Question

设x1,x2 是关于方程 x^2-(k+2)x+2k+1=0 的两实根 （1）、k是何指时,（x1）^2+(x2)^2有最小值?求出此时
……方程的两根 （2）当（x1）^2+(x
2)^2=11时,求做一个关于x的方程,使它的一个根为x1+x2,另一个根为（x1-x2）^2

Answer 1

（1）由二次方程跟与系数的关系知,x1+x2=k+2,x1*x2=2k+1；
∴ (x1)²+(x2)²=(x1+x2)²-2x1*x2=(k+2)²-2(2k+1)=k²+2,当 k=0 时代数式的值最小；
若 k=0,原方程化为 x²-2x+1=0,解得 x1=x2=1；
（2）(x1)²+(x2)²=k²+2=11,即 k=±3；
原方程两根 x1+x2=2±3=5 或 -1,x1*x2=1±6=7 或 -5；
待求方程的两根之和 (x1+x2)+(x1-x2)²=5+5²-4*7=2,或 =-1+(-1)²-4*(-5)=20；
两根之积 (x1+x2)*(x1-x2)²=(x1+x2)*[(x1+x2)²-4x1*x2]=5*(5²-4*7)=-15,或 =-1*[1²-4*(-5)]=-21；
由第一组合 两根之和等于 2,两根之积等于 -15 可构建二次方程：x²-2x-15=0；
由第二组合 两根之和等于 20,两根之积等于 -21 可构建二次方程：x²+20x-21=0；