数学归纳法可不可以假设k和k-1同时成立?已经得出递推式是Tn=T(n-1)+2*T(n-2),要用数学归纳法证明Tn=(2^(n+1)+(-1)^n)/3怎么证明?可不可以同时假设n=k-1及n=k成立?

Question

数学归纳法可不可以假设k和k-1同时成立?
已经得出递推式是Tn=T(n-1)+2*T(n-2),要用数学归纳法证明Tn=(2^(n+1)+(-1)^n)/3
怎么证明?可不可以同时假设n=k-1及n=k成立?

Answer 1

当然不可以,如果你同时假设它们成立,那这道题目就不用证明了,直接就成立了,因为n=k-1,n=k都成立了,还用证明什么呢.
你应该整理Tn=T(n-1)+2*T(n-2),移项得Tn-Tn-1=2*T(n-2),用累加法可以得到2*T(n-2)=Tn - T2,然后再假设当n=k时成立,也就是Tk=(2^(k+1)+(-1)^k)/3
然后代入上式,看Tk-2是否也满足Tn=(2^(n+1)+(-1)^n)/3这个式子,如果满足就得证.