设f(x)=∫(x,x+pai/2)绝对值sintdt求f(x)的最大最小值上线是x+(π/2)下线是x

Question

设f(x)=∫(x,x+pai/2)绝对值sintdt求f(x)的最大最小值
上线是x+(π/2)下线是x

Answer 1

令：f'(x)=[∫(x,a)|sint|dt)+∫(a,x+π/2)|sint|dt]'
=-|sinx|+|sin(x+π/2)|=|cosx|-|sinx|=0
得：sinx=±cosx
sinx±cosx=0
√2sin(x±π/4)=0
得：x±π/4=kπ
x=kπ±π/4=kπ/2+π/4（稳定点）
取k=0,x=π/4
f(π/4)=∫|sint|dt=∫sintdt=- cost|=√2;
取k=1,x=π/4+π/2
f(π/4+π/2)=∫|sint|dt=∫<3π/4,π+π/4>|sint|dt
=∫<3π/4,π>sintdt-∫sintdt
=- cost|<3π/4,π>+cost|=(1-√2/2)+(-√2/2+1)=2-√2.
所以：f(x)的最大值为：√2；最小值为2-√2.