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阅读材料:如图,△ABC中,AB=AC,P为底边BC上任意一点,点P到两腰的距离分别为r1,r2,腰上的高为h,连接AP,则S△ARP+S△ACP=S△ABC,即:12AB•r1+12AC•r2=12AC•h,∴r1+r2=h(定值).(1)理解
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阅读材料:
如图,△ABC中,AB=AC,P为底边BC上任意一点,点P到两腰的距离分别为r1,r2,腰上的高为h,连接AP,则S△ARP+S△ACP=S△ABC,即:
AB•r1+
AC•r2=
AC•h,∴r1+r2=h(定值).
(1)理解与应用:
如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E为对角线BD上的一点,且BE=BC,F为CE上一点,FM⊥BC于M,FN⊥BD于N,试利用上述结论求出FM+FN的长.
(2)类比与推理:
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”,那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”,即:
已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1,r2,r3,等边△ABC的高为h,试证明r1+r2+r3=h(定值).
(3)拓展与延伸:
若正n边形A1A2…An,内部任意一点P到各边的距离为r1r2…rn,请问r1+r2+…+rn是否为定值?如果是,请合理猜测出这个定值.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a2cc7cd98d1001e92ac9448dbb0e7bec55e797be.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7dd98d1001e9390135f7ddbc78ec54e737d196be.jpg)
如图,△ABC中,AB=AC,P为底边BC上任意一点,点P到两腰的距离分别为r1,r2,腰上的高为h,连接AP,则S△ARP+S△ACP=S△ABC,即:
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(1)理解与应用:
如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E为对角线BD上的一点,且BE=BC,F为CE上一点,FM⊥BC于M,FN⊥BD于N,试利用上述结论求出FM+FN的长.
(2)类比与推理:
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”,那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”,即:
已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1,r2,r3,等边△ABC的高为h,试证明r1+r2+r3=h(定值).
(3)拓展与延伸:
若正n边形A1A2…An,内部任意一点P到各边的距离为r1r2…rn,请问r1+r2+…+rn是否为定值?如果是,请合理猜测出这个定值.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a2cc7cd98d1001e92ac9448dbb0e7bec55e797be.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7dd98d1001e9390135f7ddbc78ec54e737d196be.jpg)
▼优质解答
答案和解析
(1)过E点作EH⊥BC,垂足为H,连接BF,
∵BE=BC=3,∠EBH=45°,
∴EH=
,
∵S△BFE+S△BCF=S△BEC,
∴
BE×FN+
BC×FM=
BC×EH,
∵BE=BC,
∴FN+FM=EH=
.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b64543a98226cffc86dfef30ba014a90f703eabf.jpg)
(2)连接PA,PB,PC,
∵S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC,
∴
BC•r1+
AC•r2+
AB•r3=
BC•h,
∵BC=AC=AB,
∴r1+r2+r3=h.
(3)设n边形的边心距为r,则:r1+r2+…+rn=nr(定值).
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5882b2b7d0a20cf43808ae5d75094b36adaf9993.jpg)
∵BE=BC=3,∠EBH=45°,
∴EH=
3
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∵S△BFE+S△BCF=S△BEC,
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∵BE=BC,
∴FN+FM=EH=
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b64543a98226cffc86dfef30ba014a90f703eabf.jpg)
(2)连接PA,PB,PC,
∵S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC,
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∵BC=AC=AB,
∴r1+r2+r3=h.
(3)设n边形的边心距为r,则:r1+r2+…+rn=nr(定值).
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