设抛物线过定点A(2,0)且以直线X等于负2为准线,求抛物线轨迹C的方程式已知B(0,-5),轨迹C上是否存在满足向量MB乘以向量NB等于0的M,N两点?证明你的结论

Question

设抛物线过定点A(2,0)且以直线X等于负2为准线,求抛物线轨迹C的方程式
已知B(0,-5),轨迹C上是否存在满足向量MB乘以向量NB等于0的M,N两点?证明你的结论

Answer 1

(1)设抛物线过定点A(2,0)且以直线X=-2为准线,求抛物线轨迹C的方程式
p/2=2,故P=4,于是得抛物线C的方程为y²=8x；
(2)已知B(0,-5),轨迹C上是否存在满足向量MB▪NB=0的M,N两点?证明你的结论
MB▪NB=0就是MB⊥NB,即以B为顶点作两条互相垂直的直线与抛物线相交于M和N,这样的M
和N当然存在,而且有无穷多.下面证明这个结论：
先假设M,N存在.连接MN,设MN所在直线的方程为x=my+n,代入抛物线方程得y²-8my-8n=0；
再设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),则y₁+y₂=8m,y₁y₂=-8n；x₁+x₂=m(y₁+y₂)+2n=8m²+2n；
x₁x₂=(my₁+n)(my₂+n)=m²y₁y₂+mn(y₁+y₂)+n²=-8m²n+8m²n+n²=n²；已知B(0,-5)；
故向量MB=(-x₁,-5-y₁)；向量NB=(-x₂,-5-y₂)；
令MB▪NB=x₁x₂+(-5-y₁)(-5-y₂)=x₁x₂+25+5(y₁+y₂)+y₁y₂=n²+40m-8n+25=0.(1)
满足(1)的实数对(m,n)有无穷多,每一个满足(1)的实数对(m,n)都能在抛物线上找到相应的M和·N,使MB▪NB＝0；如取m=-1/4,代入(1)得n²-8n+15=(n-3)(n-5)=0,得n₁=3,n₂=5；用m=-1/4,n₁=3得：y₁+y₂=-2,y₁y₂=-24；不难求得y₁=-6,y₂=4；相应地,x₁=36/8=9/2,x₂=16/8=2；即在
抛物线上存在两点M(9/2,-6)和N(2,4)使得MA▪NB=9-10-24+25=0.这就证明了我们的结论.