（2014•潮州二模）如图，线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=5，点M是线段AB上一点，且AM=λMB（λ＞0）．（1）求点M的轨迹E的方程，并指明轨迹E是何种曲线；（2）当λ=23时，过

Question

（2014•潮州二模）如图，线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=5，点M是线段AB上一点，且

AM

=λ

MB

（λ＞0）．
（1）求点M的轨迹E的方程，并指明轨迹E是何种曲线；
（2）当λ=(2)/(3)时，过点P（1，1）的直线与轨迹E交于C、D两点，且P为弦CD的中点，求直线CD的方程．

Answer 1

（1）设M（x，y），A（a，0），B（0，b），
由

AM

＝λ

MB

，得（x-a，y）=λ（-x，b-y），

x−a＝−λx

y＝λ(b−y)

，从而

a＝(1+λ)x

b＝((1+λ))/(λ)y

，
由a²+b²=25，得(x2)/((25)/((1+λ)2))+(y2)/((25λ2)/((1+λ)2))＝1．
①若λ=1，则方程为x2+y2＝(25)/(4)，轨迹为圆；
②若0＜λ＜1，则轨迹E表示为焦点在x轴上的椭圆；
③若λ＞1，则轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆．
（2）当λ＝(2)/(3)时，轨迹方程为(x2)/(9)+(y2)/(4)＝1，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
设弦CD的斜率为k，代入作差，得：
(x12−x22)/(9)-(y12−y22)/(4)=0，
由x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，得k=-(4)/(9)，
∴直线CD的方程为y-1=-(4)/(9)（x-1），整理，得4x+9y-13=0．