（2005•重庆一模）设抛物线过定点A（2，0），且以直线x=-2为准线．（1）求抛物线顶点的轨迹C的方程；（2）已知点B（0，-5），轨迹C上是否存在满足MB•NB=0的M、N两点？证明你的结论．

Question

（2005•重庆一模）设抛物线过定点A（2，0），且以直线x=-2为准线．
（1）求抛物线顶点的轨迹C的方程；
（2）已知点B（0，-5），轨迹C上是否存在满足

MB

•

NB

=0的M、N两点？证明你的结论．

Answer 1

（1）设抛物线顶点P（x，y），则抛物线的焦点F（2x+2，y），
由抛物线的定义可得√((2x+2−2)2+y2)=4．
∴(x2)/(4)+(y2)/(16)=1．
∴轨迹C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(16)=1（x≠2）．
（2）不存在．证明如下：
过点B（0，-5）斜率为k的直线方程为y=kx-5（斜率不存在时，显然不符合题意），
由

y＝kx−5

(x2)/(4)+(y2)/(16)＝1

得（4+k²）x²-10kx+9=0，
由△≥0得k²≥(9)/(4)．
假设在轨迹C上存在两点M、N，令MB、NB的斜率分别为k₁、k₂，则|k₁|≥(3)/(2)，|k₂|≥(3)/(2)，显然不可能满足k₁•k₂=-1，
∴轨迹C上不存在满足

MB

•

作业帮用户 2017-10-28 举报

问题解析

（1）由题意要先求出抛物线的焦点，再有定义法这一常见的求动点的轨迹的方法求解抛物线的顶点的轨迹方程，同时要注意方程求解后的排杂这一过程；
（2）由（1）知道轨迹C为焦点在y轴的标准椭圆，由于过定点，过设斜率，要分斜率不存在与存在两种情况加以讨论，写出直线方程与椭圆方程进行联立进而求解．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．

考点点评：

（1）此问重点考查了利用定义求动点的轨迹，还考查了抛物线的性质，及求解轨迹方程后学生容易忽视的排杂过程；
（2）此问重点考查了直线与圆锥曲线椭圆的联立解决有两交点的问题及向量点积为0的实质是直线垂直的问题．

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