关于周期问题的高数选择和一道比大小（1）f(x)是以T为周期的可微函数,下列也是以T为周期的函数是（）A对f(x)从0~x积分B对[f(x)]^2从0~x积分C对[f'(x)]^2从0~积分D对f(x)f'(x)从0~x积分(2)I1=对tanx/x

Question

关于周期问题的高数选择和一道比大小
（1）f(x)是以T为周期的可微函数,下列也是以T为周期的函数是（）
A对f(x)从0~x积分 B对[f(x)]^2从0~x积分 C对[f'(x)]^2从0~积分 D对f(x)f'(x)从0~x积分
(2)I1=对tanx/x从0~π/4积分 I2=对x/tanx从0~π/4积分 比较I1和I2的大小以及与1的大小

Answer 1

(1)D是对的
D 设g(x)=∫f(x)f'(x)dx=∫f(x)df(x)=1/2[f(x)]^2
f(x+t)=f(x)
g(x+t)=1/2[f(x+t)]^2=1/2[f(x)]^2=g(x)
∴ D是正确的
（2） tanx/x在（0,π/4)是连续函数
利用积分中值定理
I1=tana/a*(π/4-0) ( 0I2
设f(x)=tanx/x
f'(x)=(x/cos^2x-tanx)/x^2=(2x-sin2x)/(2x^2cos^2x)
x∈(0,π/4)时
2x∈(0,π/2)
所以2x>sin2x
f'(x)>0
f(x)单调递增
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