高等数学积分问题（求爹爹跪奶奶）列7,设f(x)为连续函数,且f(x)=x+2∫1-0f(t)dt,求f(x).给出的解：因为f(x)连续,所以f(x)在区间0,1上可积,记I=∫1-0f(t)dt,于是f(x)=x+2I,两边在0,1上积分,得.应

Question

高等数学积分问题（求爹爹跪奶奶）
列7,
设f(x)为连续函数,且f(x)=x+2∫1-0f(t)dt,求f(x).
给出的解：
因为f(x)连续,所以f(x)在 区间【0 ,1】上可积,记I=∫1-0f(t)dt,于是f(x)=x+2I,两边在【0,1】上积分,得.
应为连续,所以可积?它想表达什么?我才学这个!是个 才鸟!还请高手赐教

Answer 1

这是解数学题人的通病,要把话说圆了.
有两个因素确定定积分的值,一是被积函数,二是积分区间.
本题中,既然f(x)给定了,区间[0,1]也给定了,那么∫1-0f(t)dt的值也就确定了,故设其等于l,
将条件式中的定积分用l替代,就得到了f(x)＝x+2l,
由于l等于多少现在并不知道,故还需计算出来,计算办法是：将f(x)的表达式代入到等式
l=∫1-0f(t)dt中,由此可得关于l的方程式,
解出此方程中的l,
将上面的l在代入到f(x)的表达式中,于是f(x)的最终表达式便可得到了
注：此类问题实在没有什么高明之处,不过是蒙人罢了,不如直接计算定积分来得实在.