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如图，直线AB与椭圆：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）交于A，B两点，与x轴和y轴分别交于点P和点Q，点C是点A关于x轴的对称点，直线BC与x轴交于点R．（1）若点P为（6，0），点Q为（0，3），点A，B恰好是
题目详情
如图，直线AB与椭圆：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）若点P为（6，0），点Q为（0，3），点A，B恰好是线段QP的两个三等分点．
①求椭圆的方程；
②过坐标原点O引△ABC外接圆的切线，求切线长；
（2）当椭圆给定时，试探究OP•OR是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
▼优质解答
答案和解析
（1）①设点A（x，y），由题意知
＝3
，则有（6，-3）=3（x，y-3），
解得x=2，y=2，即A（2，2），又点B为A、P中点，可得点B（4，1）…（2分）
∴
，解得：a2=20，b2=5，∴椭圆的方程为
+
＝1…（5分）
②由点A（2，2），B（4，1）可求得线段AB的中垂线方程为y=2x-
，令y=0，得x=
．
设△ABC外接圆的圆心为M，半径为r，可知M（
，0），r=AM=
…（7分）
∴切线长为
| QP |
| QA |
解得x=2，y=2，即A（2，2），又点B为A、P中点，可得点B（4，1）…（2分）
∴
|
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 5 |
②由点A（2，2），B（4，1）可求得线段AB的中垂线方程为y=2x-
| 9 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
设△ABC外接圆的圆心为M，半径为r，可知M（
| 9 |
| 4 |
| ||
| 4 |
∴切线长为
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