线性代数问题：设三阶方阵A=aij（ij为下标）,且r（A*)=1,试证：(1)r(A)≥2(2)|A|=0

Question

线性代数问题：设三阶方阵A=aij（ij为下标）,且r（A*)=1,试证：(1)r(A)≥2 (2)|A|=0

Answer 1

1）反证,当R(A)=0时,aij=0,则A*=0,得r（A*)=0,与r（A*)=1矛盾.
当R（A）=1时,A的二阶子式都为零,则Aij=0,得A*=0,得r（A*)=0,与r（A*)=1矛盾
所以 r(A)≥2
(2)因为 AA*=A*A=|A|E
| A||A*|=|A*||A|=|A|^n
若 |A|≠0,则|A*|=|A|^(n-1)≠0,得r（A*)=3与r（A*)=1矛盾,
所以
|A|=0