线性代数疑问三阶实对称阵每行元素和都等于二,且R(2E+A)=1,求正交阵P,使P-1AP为对角矩阵

Question

线性代数疑问
三阶实对称阵每行元素和都等于二,
且R(2E+A)=1,求正交阵P,使P-1AP
为对角矩阵

Answer 1

因为A每行元素和都等于2
所以2是A的特征值,a1=(1,1,1)^T 是相应的特征向量.
又因为R(2E+A)=1,所以-2是A的2重特征值.
由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交
所以属于特征值-2特征向量 (x1,x2,x3)^T 满足 x1+x2+x3=0
解得 (1,-1,0)^T,(1,1,-2)^T.
单位化后作为P的列向量即有 P^-1AP=diag(2,-2,-2).