计算∫cz^3ds,其中C为圆锥螺旋线：x=tcost,y=tsint,z=t,0

Question

计算∫cz^3ds,其中C为圆锥螺旋线：x=tcost,y=tsint,z=t,0

Answer 1

求导：x'＝cost-tsint,y'＝sint+tcost,z'＝1
ds＝√[(x')^2+(y')^2+(z')^2]dt＝√(2+t^2)dt
∫z^3ds＝∫(0到√2) t^3√(2+t^2)dt（换元u＝t^2）
＝1/2×∫(0到2) u√(2+u)du
＝1/2×∫(0到2) [√(2+u)^3－2√(2+u)]du,√(2+u)^3的原函数分别是2/5×√(2+u)^5,√(2+u)的原函数是2/3×√(2+u)^3
＝(16+8√2)/15