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求大虾证：〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2=〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕,其中N为正整数.即要证明正整数的（和的平方）等于正整数的（立方和）.
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答案和解析
根据
(A+B)^2=A^2+B^2+2AB
以及
〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕=N*(1+N)/2=(N+N^2)/2
可进行以下推导：
〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*1*〔2+3+4+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*2*〔3+4+5+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*3*〔4+5+6+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+…
+2*(N-3)* 〔(N-2) +(N-1)+N〕
+2*(N-2) *〔(N-1)+N〕
+2*(N-1)*N
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*1*｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕-1｝
+2*2*｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕-(1+2)｝
+2*3*｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕-(1+2+3)｝
+…
+2*(N-3) *｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕–〔(1+2+3 +…+(N-5)+(N-4)+(N-3)〕｝
+2*(N-2) *｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕–〔(1+2+3 +…+(N-4)+(N-3)+(N-2)〕｝
+2*(N-1)* ｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕–〔(1+2+3 +…+(N-3)+(N-2)+(N-1)〕｝
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*1*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*3*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+…
+2*(N-3) *〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*(N-2) *〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*(N-1)* 〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
－2*1*1
－2*2*(1+2)
－2*3(1+2+3)
－…
－2*(N-3) *〔(1+2+3 +…+(N-5)+(N-4)+(N-3) 〕
－2*(N-2) *〔(1+2+3 +…+(N-4)+(N-3)+(N-2)〕
－2*(N-1)* 〔(1+2+3 +…+(N-3)+(N-2)+(N-1)〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)〕
－2*1*〔1+1^2/2〕－2*2*〔2+2^2/2〕－2*3*〔3+3^2/2〕
－…
－2*(N-3) *〔(N-3)+(N-3) ^2/2〕
－2*(N-2) *〔(N-2)+(N-2) ^2/2〕
－2*(N-1) *〔(N-1)*+(N-1) ^2/2〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2－2*N*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
－(1^2+1^3) －(2^2+2^3) －(3^2+3^3)
－…
－〔(N-3) ^2+(N-3) ^3〕－〔(N-2) ^2+(N-2) ^3〕－〔(N-1) ^2+(N-1) ^3〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2－(N^2+N^3)
－〔1^2+2^2+3^2+…+(N-3) ^2+(N-2) ^2+(N-1) ^2〕
－〔1^3+2^3+3^3+…+(N-3) ^3+(N-2) ^3+(N-1) ^3〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2
－〔1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N ^2〕
－〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕
=
2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2－〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕
由上可知：
〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2=〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕
(A+B)^2=A^2+B^2+2AB
以及
〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕=N*(1+N)/2=(N+N^2)/2
可进行以下推导：
〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*1*〔2+3+4+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*2*〔3+4+5+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*3*〔4+5+6+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+…
+2*(N-3)* 〔(N-2) +(N-1)+N〕
+2*(N-2) *〔(N-1)+N〕
+2*(N-1)*N
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*1*｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕-1｝
+2*2*｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕-(1+2)｝
+2*3*｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕-(1+2+3)｝
+…
+2*(N-3) *｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕–〔(1+2+3 +…+(N-5)+(N-4)+(N-3)〕｝
+2*(N-2) *｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕–〔(1+2+3 +…+(N-4)+(N-3)+(N-2)〕｝
+2*(N-1)* ｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕–〔(1+2+3 +…+(N-3)+(N-2)+(N-1)〕｝
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*1*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*3*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+…
+2*(N-3) *〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*(N-2) *〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*(N-1)* 〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
－2*1*1
－2*2*(1+2)
－2*3(1+2+3)
－…
－2*(N-3) *〔(1+2+3 +…+(N-5)+(N-4)+(N-3) 〕
－2*(N-2) *〔(1+2+3 +…+(N-4)+(N-3)+(N-2)〕
－2*(N-1)* 〔(1+2+3 +…+(N-3)+(N-2)+(N-1)〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)〕
－2*1*〔1+1^2/2〕－2*2*〔2+2^2/2〕－2*3*〔3+3^2/2〕
－…
－2*(N-3) *〔(N-3)+(N-3) ^2/2〕
－2*(N-2) *〔(N-2)+(N-2) ^2/2〕
－2*(N-1) *〔(N-1)*+(N-1) ^2/2〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2－2*N*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
－(1^2+1^3) －(2^2+2^3) －(3^2+3^3)
－…
－〔(N-3) ^2+(N-3) ^3〕－〔(N-2) ^2+(N-2) ^3〕－〔(N-1) ^2+(N-1) ^3〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2－(N^2+N^3)
－〔1^2+2^2+3^2+…+(N-3) ^2+(N-2) ^2+(N-1) ^2〕
－〔1^3+2^3+3^3+…+(N-3) ^3+(N-2) ^3+(N-1) ^3〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2
－〔1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N ^2〕
－〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕
=
2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2－〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕
由上可知：
〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2=〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕
看了 求大虾证：〔1+2+3+…+...的网友还看了以下：
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