在等腰△ABC中,CH⊥AB,P是CH上一点(不与C.H)重合,连AP.BP,两延长线交BC.AC于E.F

Question

在等腰△ABC中,CH⊥AB,P是CH上一点(不与C.H)重合,连AP.BP,两延长线交BC.AC于E.F

Answer 1

如图,在等腰△ABC中,CH是底边上的高线,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F．
（1）证明：∠CAE=∠CBF；
（2）证明：AE=BF；
（3）以线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G）,记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取值范围．
证明：（1）∵△ABC是等腰△,CH是底边上的高线,
∴AC=BC,∠ACP=∠BCP．
又∵CP=CP,
∴△ACP≌△BCP．
∴∠CAP=∠CBP,即∠CAE=∠CBF．
（2）∵∠ACE=∠BCF,∠CAE=∠CBF,AC=BC,
∴△ACE≌△BCF．
∴AE=BF．
（3）由（2）知△ABG是以AB为底边的等腰三角形,
∴S△ABC=S△ABG．
∴AE=AC．
①当∠C为直角或钝角时,在△ACE中,不论点P在CH何处,均有AE＞AC,所以结论不成立；
②当∠C为锐角时,∠A=90°- 1/2∠C,而∠CAE＜∠A,要使AE=AC,只需使∠C=∠CEA,
此时,∠CAE=180°-2∠C,
只须180°-2∠C＜90°- 1/2∠C,解得60°＜∠C＜90°．