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已知函数f(x)=(x2-mx+m)•ex(m∈R).(Ⅰ)若函数f(x)存在零点,求实数m的取值范围;(Ⅱ)当m<0时,求函数f(x)的单调区间;并确定此时f(x)是否存在最小值,如果存在,求出
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已知函数f(x)=(x2-mx+m)•ex(m∈R).
(Ⅰ)若函数f(x)存在零点,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)当m<0时,求函数f(x)的单调区间;并确定此时f(x)是否存在最小值,如果存在,求出最小值,如果不存在,请说明理由.
(Ⅰ)若函数f(x)存在零点,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)当m<0时,求函数f(x)的单调区间;并确定此时f(x)是否存在最小值,如果存在,求出最小值,如果不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)设f(x)有零点,即函数g(x)=x2-mx+m有零点,
所以m2-4m≥0,解得m≥4或m≤0.
(Ⅱ)f'(x)=(2x-m)•ex+(x2-mx+m)•ex=x(x-m+2)ex,
令f'(x)=0,得x=0或x=m-2,
因为m<0时,所以m-2<0,
当x∈(-∞,m-2)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(m-2,0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
此时,f(x)存在最小值.f(x)的极小值为f(0)=m<0.
根据f(x)的单调性,f(x)在区间(m-2,+∞)上的最小值为m,
解f(x)=0,得f(x)的零点为x1=
和x2=
,
结合f(x)=(x2-mx+m)•ex,
可得在区间(-∞,x1)和(x2,+∞)上,f(x)>0
因为m<0,所以x1<0<x2,
并且x1-(m-2)=
-m+2=
>
=
=
=1>0,
即x1>m-2,
综上,在区间(-∞,x1)和(x2,+∞)上,f(x)>0,f(x)在区间(m-2,+∞)上的最小值为m,m<0,
所以,当m<0时f(x)存在最小值,最小值为m.
所以m2-4m≥0,解得m≥4或m≤0.
(Ⅱ)f'(x)=(2x-m)•ex+(x2-mx+m)•ex=x(x-m+2)ex,
令f'(x)=0,得x=0或x=m-2,
因为m<0时,所以m-2<0,
当x∈(-∞,m-2)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(m-2,0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
此时,f(x)存在最小值.f(x)的极小值为f(0)=m<0.
根据f(x)的单调性,f(x)在区间(m-2,+∞)上的最小值为m,
解f(x)=0,得f(x)的零点为x1=
m-
| ||
2 |
m+
| ||
2 |
结合f(x)=(x2-mx+m)•ex,
可得在区间(-∞,x1)和(x2,+∞)上,f(x)>0
因为m<0,所以x1<0<x2,
并且x1-(m-2)=
m-
| ||
2 |
-m+4-
| ||
2 |
-m+4-
| ||
2 |
=
-m+4-|m-2| |
2 |
-m+4-(2-m) |
2 |
即x1>m-2,
综上,在区间(-∞,x1)和(x2,+∞)上,f(x)>0,f(x)在区间(m-2,+∞)上的最小值为m,m<0,
所以,当m<0时f(x)存在最小值,最小值为m.
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