高中立体几何三题,1.在正方体AC1中,E是棱CC1上的点,且a=C1E/EC,(1)若平面BED1⊥平面BDD1B1,则a=；(2)若平面BED1⊥平面AB1C,则a=.2.(1)菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,将其沿BD折成直二面角后,AC=；二面

Question

高中立体几何三题,
1.在正方体AC1中,E是棱CC1上的点,且a=C1E/EC,(1)若平面BED1⊥平面BDD1B1,则a=_____；(2)若平面BED1⊥平面AB1C,则a=_____.
2.(1)菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,将其沿BD折成直二面角后,AC=_____；二面角A-CD-B的正切等于_____.
(2)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,将其沿BD折成直二面角,AC=_____.
3.已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M是PC中点,PA=AD
(1)求证：平面MAB⊥平面PCD
(2)求二面角M-AB-C的大小

Answer 1

1.(1)a=1,即E为CC1中点时,平面BED1⊥平面BDD1B1.
连接BD1和B1D,交点为O
在正方体BD1中,O点平分BD1和B1D
E为CC1中点时,ED1=BE
在等腰三角形ED1B中,EO为底边BD1上的中线
∴EO⊥BD1
同理有：EO⊥B1D
∴EO⊥BB1D1D平面,则平面BED1⊥平面BDD1B1
（2）在棱锥B-ACB1中,底面ACB1为等边三角形,三个侧面为等腰直角三角形
BD1与ACB1交点为G,G为B点在ACB1上的正投影
BG⊥ACB1,即BD1⊥ACB1
∴无论E点在CC1上什么位置,都有平面BED1⊥平面AB1C
2.（1）作AE⊥BD,垂足为E
AE=EC=√3AB/2=2√3
AC=√2AE=2√6
作AF⊥DC,垂足为F.连接EF
∵ABD⊥CBD
∴EF为AF在CBD平面的投影,EF⊥DC
∠AFE即为所求.
tan ∠AFE=AE/EF
菱形ABCD中,∠A=60°∴ΔBDC与ΔADB为两相等的等边三角形
AE=2√3,EF=h/2=AE/2=√3
∴tan ∠AFE=2
3.(1)PA⊥平面ABCD ∴平面PAD⊥平面ABCD
CD⊥AD ∴CD⊥平面PAD
PC在平面PAD上的正投影为PD,M点正投影为PD中点M'
连接AM',PA=PD ∴AM'⊥PD
AM与BM在PAD上的正投影均为AM'
∴AM⊥PD,BM⊥PD
则PD⊥平面MAB 平面MAB⊥平面PCD
（2)M在ABCD上的正投影为对角线交点O
AM=BM
作ME⊥AB,则E为AB中点,连接OE,OE⊥AB
∠MEO即为所求
OE=AD/2,MO=PA/2
tan ∠MEO=MO/OE=PA/AD=1
∴∠MEO=45º