如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且CD=CM，点F为AB上的点，且∠ECF=12∠B．（1）若菱形ABCD的周长为8，且∠D=67.5°，求△MCD的面积；（2）求证：BF=EF-EM．

Question

如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且CD=CM，点F为AB上的点，且∠ECF=(1)/(2)∠B．
（1）若菱形ABCD的周长为8，且∠D=67.5°，求△MCD的面积；
（2）求证：BF=EF-EM．

Answer 1

（1）过点D作DH⊥MC于点H，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴CD=2，
∵CD=CM，且∠D=67.5°，
∴∠2=∠D=67.5°，∠DCH=45°，CM=2，
在Rt△CDH中，DH=DC×sin45°=√(2)，
∴S_△MCD=(1)/(2)CM•DH=(1)/(2)×2×√(2)=√(2)；

（2）延长AB到N，使BN=EM，连接CN，
∵CD=CM，CD=CB，且∠ABC=∠D，
∴BC=CM，∠2=∠ABC，
∵∠1+∠ABC=∠2+∠5
∴∠1=∠5
在△BNC和△MEC中，

BN=ME

∠1=∠5

BC=CM

，
∴△BNC≌△MEC（SAS），
∴∠4=∠3，CE=NC，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠BCM=∠ABC，
∵∠ECF=(1)/(2)∠ABC，
∴∠3+∠BCF=∠4+∠BCF=∠ECF，
在△NCF和△ECF中，

NC=EC

∠NCF=∠ECF

CF=CF

，
∴△NCF≌△ECF（SAS），
∴FN=EF，
EF=FB+NB=FB+EM，
∴FB=EF-EM．