若圆C:X平方+Y平方-2X-4Y+M=0与直线X+2Y-4=0相交于M,N两点.(1)若|MN|=4/根号5,求M的值(2)若OM⊥ON(O为原点坐标),求M的值

Question

若圆C:X平方+Y平方-2X-4Y+M=0与直线X+2Y-4=0相交于M,N两点.
(1)若|MN|=4/根号5,求M的值
(2)若OM⊥ON(O为原点坐标),求M的值

Answer 1

(x-1)²+(y-2)²=5-m
圆心C(1,2),半径√(5-m)
过C做CD垂直MN
则D是MN中点
MD=MN/2=2/√5
CM=r
所以CD²=CM²-MD²=5-m-4/5=21/m
CD就是圆心在直线距离
所以CD²=(1+2*2-4)²/(1²+2²)=1/5=21/m
m=21/5
M(x1,y1),N(x2,y2)
所以OM斜率=y1/x1,ON斜率y2/x2
垂直,所以y1/x1*y2/x2=-1
x1x2+y1y2=0
x=4-2y
代入
16-16y+4y²+y²-8+4y-4y+m=0
5y²-16y+8+m=0
y1+y2=16/5,y1y2=(8+m)/5
x=4-2y
x1x2=(4-2y1)(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2=16-128/5+4(8+m)/5=-48/5+4(8+m)/5
所以(8+m)/5+[-48/5+4(8+m)/5]=0
8+m=48/5
m=8/5