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求解微分方程y''+y=x^2
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求解微分方程y''+y=x^2
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答案和解析
齐次方程y''+y＝0的特征方程r^2＋1＝0,根是±i,所以齐次方程的通解是y＝C1sinx＋C2cosx
因为λ＝0不是特征方程的根,所以非齐次方程y''+y＝x^2的一个特解假设为Y＝ax^2＋bx＋c,代入非齐次方程得a＝1,b＝0,c＝－2,所以Y＝x^2－2
所以原方程的通解是y＝C1sinx＋C2cosx＋x^2－2
因为λ＝0不是特征方程的根,所以非齐次方程y''+y＝x^2的一个特解假设为Y＝ax^2＋bx＋c,代入非齐次方程得a＝1,b＝0,c＝－2,所以Y＝x^2－2
所以原方程的通解是y＝C1sinx＋C2cosx＋x^2－2
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