已知函数f(x)=e^2x-2t(e^x+x)+x^2+2t^2+1的导函数,g(x)=1/2f'(x).若g(x)为R上的增函数,求t的取值范围

Question

已知函数f(x)=e^2x-2t(e^x+x)+x^2+2t^2+1的导函数,g(x)=1/2f'(x).若g(x)为R上的增函数,求t的取值范围

Answer 1

f'(x)=2e^x-2t(e^x+1)+2x
g(x)=(1/2)f'(x)=e^x-te^x +x -t
由于 g(x)是R上的增函数,从而
g'(x)=e^x-te^x+1≥0 恒成立
即 t≤(e^x+1)/e^x=1+e^(-x) 恒成立
由于 e^(-x)>0
从而 t≤1
即t的取值范围（-∞,1]