导数（20分钟内）已知关于x的函数f(x)=ax-a/e^x（a≠0）（ax-a是整体）当a=-1时,求函数f(x)的极值若函数F（x)=f(x)+1没有零点,求实数a的取值范围

Question

导数（20分钟内）
已知关于x的函数f(x)=ax-a/e^x（a≠0） （ ax-a是整体）

当a=-1时,求函数f(x)的极值

若函数F（x)=f(x)+1没有零点,求实数a的取值范围

Answer 1

答：
f(x)=(ax-a)/e^x
f(x)=a(x-1)/e^x
1）
a=-1时,f(x)=(1-x)/e^x
求导：
f'(x)=-1/e^x-(1-x)/e^x=(x-2)/e^x
f''(x)=1/e^x-(x-2)/e^x=(3-x)/e^x
解f'(x)=0得：x=2
f''(2)=1/e^2>0
所以：x=2时取得极小值f(2)=-1/e^2
2）
F(x)=f(x)+1=a(x-1)/e^x+1没有零点
即a(x-1)+e^x没有零点
所以：e^x=a(1-x)无解
即曲线g(x)=e^x和直线h(x)=-a(x-1)无交点
a=0时,F(x)=1,符合题意
当-a<0即a>0时,h(x)恒过点（1,0）,与g(x)恒有一个交点,不符合题意
当-a>0即a<0时,g(x)与h(x)相切
g'(x)=h'(x)=-a
即：g'(x)=e^x=-a,x=ln(-a)
切点为（ln(-a),-a）
所以：切线斜率k=-a=(-a-0)/ [ ln(-a)-1 ]
所以：ln(-a)-1=1
所以：ln(-a)=2
解得：a=-e^2
所以：-e^2综上所述,-e^2

作业帮用户 2017-09-22 举报