如图,抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于AB两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1（1）求抛物线的函数解析式（2）求直线BC的函数表达式（3）点E为对称轴上一动点,求点E在何位置时,三

Question

如图,抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1
（1）求抛物线的函数解析式
（2）求直线BC的函数表达式
（3）点E为对称轴上一动点,求点E在何位置时,三角形ACE的周长最小,并求最小周长

Answer 1

（1）y=ax^2 bx c
抛物线的对称轴为x=1,B（3,0）,所以X轴另一个交点A（-1,0）
将A,B,C三点分别代入公式
0=a-b c
0=9a 3b c
-3=c
a=1,b=-2,c=-3
y=x^2-2x-3
（2）
设P（1,y）
|PB|^2=y^2 4>=4 (y=0时取得最小值4)
|PC|^2=(y 3)^2 1=y^2 6y 10=(y 3)^2 1>=1 （在y=-3时取得最小值1）
|PB|-|PC|=√(y^2 4)-√(y^2 6y 10)
当|PB|=|PC|时能取得最小值0,不能取得最大值,最小时y=-1
（3）
平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点,若以MN为直径的圆恰好与x轴相切,所以MN两点关于x=1对称
设圆的半径为R
所以M(1-R,R),N(1 R,R)
代入曲线方程
R=(1-R)^2-2(1-R)-3
R=(1 √17)/2,R=(1-√17)/2(舍去)
即圆的半径为(1 √17)/2