已知数列An满足An>0且A1=1,An平方-2AnSn+1=0,求An

Question

已知数列An满足An>0且A1=1,An平方-2AnSn+1=0,求An

Answer 1

1.n=1时,S1=A=1
2.n>1时
因An=Sn-S(n-1)
所以[Sn-S(n-1)]²-2[Sn-S(n-1)]*Sn+1=0
即Sn²-2Sn*S(n-1)+S(n-1)²-2Sn²+2Sn*S(n-1)+1=0
化为 Sn²-S(n-1)²=1
所以{Sn²}是公差为1的等差数列
首项=S1²=1
故Sn²=1+(n-1)*1=n
Sn=√n
则S(n-1)=√(n-1)
所以An=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)
当n=1时 A1=√1-√(1-1)=1满足条件
故An=√n-√(n-1)