设正项数列{an}满足a1=1,an+1=an^2/1+2an,求an

Question

设正项数列{an}满足a1=1,an+1=an^2/1+2an,求an

Answer 1

由a(n+1)=an^2/(1+2an)
有1/a(n+1)=(1+2an)/an^2=1/an^2+2/an（取倒数）
即1/a(n+1)+1=1/an^2+2/an+1（两边加1）
即1/a(n+1)+1=(1/an+1)^2（配方）
令bn=1/an+1（换元）
则b(n+1)=bn^2
因an>0
则bn>1
于是log2[b(n+1)]=2log2(bn)（取对数）
令cn=log2(bn)（再换元）
则c(n+1)/cn=2
表明数列{cn}为等比数列

易知c1=log2(1/a1+1)=1
于是cn=2^(n-1)
进而bn=2^[2^(n-1)]
所以an=1/{2^[2^(n-1)]-1}