已知数列{an}为等差数列，数列{bn}满足bn=an+n，若b2，b5，b11成等比数列，且b3=a6．（1）求an，bn；（2）求数列{1anbn}的前n项和Sn．

Question

已知数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}满足b_n=a_n+n，若b₂，b₅，b₁₁成等比数列，且b₃=a₆．
（1）求a_n，b_n；
（2）求数列{(1)/(anbn)}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）设数列{a_n}的公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d，b_n=a₁+（n-1）d+n，
∵b₂，b₅，b₁₁成等比数列，且b₃=a₆．
∴

a1+2d+3=a1+5d

(a1+4d+5)2=(a1+d+2)(a1+10d+11)

，
解得

a1=3

d=1

．
于是a_n=n+2，b_n=2n+2．
（2）(1)/(anbn)=(1)/((n+2)(2n+2))=(1)/(2)((1)/(n+1)-(1)/(n+2))．
∴S_n=(1)/(2)[((1)/(2)-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(4))+…+((1)/(n+1)-(1)/(n+2))]
=(1)/(2)((1)/(2)-(1)/(n+2))
=(n)/(4n+8)．