已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',E,F,G,H分别是棱A'D',D'C',C'C和AB的中点,求证E,F,G,H,四点共面

Answer 1

连接 A'B,BC',A'C',
连接 AC,CD',AD'.
易证:AC//A'C',A'B//D'C.
知平面A'BC'//ACD' (一平面上的两条相交直线与另一平面上的两条相交直线分别平行,则这两平面互相平行)
又易证:EF//A'C'//AC,FG//A'B//D'C.知平面EFG//平面A'BC'//ACD'.
且知:平面EFG与其余两平面等距离.(因为,比如,A'D'被它平分).
由此,设M,N分别为平面A'BC'和ACD'上的点,则:平面EFG将平分线段MN.
而A,B就是这样的两点,故其中点H必在平面EFG上.
即E,F,G,H四点共面.