对于区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果任意x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个

Question

对于区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果任意x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f₁（x）=log_a（x-3a）与f₂（x）=log_a(1)/(x−a)（a＞0，a≠1）
（1）求f₁（x）-f₂（x）的定义域；
（2）若f₁（x）与f₂（x）在整个给定区间[a+2，a+3]上都有意义，
①求a的取值范围；
②讨论f₁（x）与f₂（x）在整个给定区间[a+2，a+3]上是不是接近的．

Answer 1

（1）因为f₁（x）-f₂（x）=log_a（x-3a）-log_a(1)/(x−a)（a＞0，a≠1），
所以要使函数有意义，则

x−3a＞0

(1)/(x−a)＞0

，即

x＞3a

x＞a

，所以x＞3a．
定义域为（3a，+∞）．
（2）①由3a＜a+2，
∴0＜a＜1．
②若f₁（x）与f₂（x）在[a+2，a+3]上接近．
∵f₁（x）与f₂（x）在[a+2，a+3]上有意义，
∴

a＞0

a≠1

(a+2)−3a＞0

，解得0＜a＜1，
构造函数F（x）=f₁（x）-f₂（x）=log_a（x-a）（x-3a），
函数t=（x-a）（x-3a）在（-∞，2a]上单调递减，在[2a，+∞）上单调递增，且y=log_at在定义域内为减函数，
∵0＜a＜1，
∴0＜2a＜2＜a+2，
故F（x）在[a+2，a+3]内单调递减，
则只需要保证

作业帮用户 2017-10-04 举报

问题解析

（1）利用求函数定义域的方法求函数的定义域．
（2）利用函数的新定义确定a的取值范围．

名师点评

本题考点：

对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评：

本题主要考查对数函数的性质和应用，考查学生分析问题的能力，综合性较强，运算量较大．

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