如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中．（Ⅰ）求证：B1D⊥平面A1C1B；（Ⅱ）求三棱锥B1-A1C1B的体积；（Ⅲ）求异面直线BC1与AA1所成的角的大小．

Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（Ⅰ）求证：B₁D⊥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-A₁C₁B的体积；
（Ⅲ）求异面直线BC₁与AA₁所成的角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图，连BD、B₁D₁，
∵A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，（2分）
又∵BB₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁
底面A₁B₁C₁D₁，
∴A₁C₁⊥BB₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，（4分）
∴B₁D⊥A₁C₁，同理可证：B₁D⊥BC₁，且A₁C₁∩BC₁=C₁，
故B₁D⊥平面A₁C₁B．（5分）
（Ⅱ）VB1−A1C1B＝VB−A1B1C1＝(1)/(3)S△A1B1C1⋅BB1
=(1)/(3)•(1)/(2)•1•1•1=(1)/(6)．（9分）
（Ⅲ）∵AA₁∥BB₁，
∴异面直线BC₁与AA₁所成的角就是BC₁与BB₁所成的角，即∠B₁BC₁=45°．（13分）
故异面直线BC₁与AA₁所成的角为45°．（14分）