如图,矩形ABCD中,AB=根号3,AD=5,直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点p与A,D不重合）,一直角边经过点C,另一直角边AB交于点E.1）当∠CPD=30°时,求AE的长.2）是否在这样的店p,使△DPC的面积等于△AEP面

Question

如图,矩形ABCD中,AB=根号3,AD=5,直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点p与A,D不重合）,一直角边经过点C
,另一直角边AB交于点E.1）当∠CPD=30°时,求AE的长.2）是否在这样的店p,使△DPC的面积等于△AEP面积的2倍?若存在,求出DP的长;若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP,
∴当∠CPD=30°时,∠AEP=30°．
在Rt△CPD中,CD=AB=4,∠CPD=30°,因此PD=CD•cot30°=4 根号3 ,
∴AP=AD-PD=10-4 根号3 ．
在Rt△APE中,AP=10-4 根号3 ,∠AEP=30°,因此AE=AP•cot30°=10根号 3 -12．
（2）假设存在这样的点P,
∵Rt△AEP∽Rt△DPC,
∴CD /AP =PD /AE =PC /PE =2．
∵CD=AB=4,
∴AP=2,PD=8,
∴存在这样的P点,且DP长为8．