（2012•荆州模拟）如图，直线L1交直线L2于y轴上一点A（0，6），交x轴上另一点C．l2交x轴于另一点B，二次函数y=ax2-6ax-16a（a＞0）的图象过B、C两点，点P是线段OC上由O向C移动的动点，线段OP=t

Question

（2012•荆州模拟）如图，直线L₁交直线L₂于y轴上一点A（0，6），交x轴上另一点C．l₂交x轴于另一点B，二次函数y=ax²-6ax-16a （a＞0）的图象过B、C两点，点P是线段OC上由O向C移动的动点，线段OP=t（1＜t＜8）
（1）t为何值时，P为圆心OP为半径的圆与l₁相切？
（2）设抛物线对称轴与直线l₁相交于M，请在x轴上求一点N．使△AMN的周长最小．
（3）设点Q是AC上自C向A移动的一动点，且CQ=OP=t．若△PQC的面积为s，求S与t的函数关系式，当△PQC为等腰三角形时，请直接写出t的值．

Answer 1

（1）抛物线的解析式中，当y=0时，0=a（x²-6x-16），解得：x₁=-2，x₂=8；
∴B（-2，0）、C（8，0）．
过P作PD⊥AC于D，若⊙P与直线l₁相切，则 PD=OP=t；
易知Rt△CPD∽Rt△CAO
∴(PD)/(OA)=(PC)/(AC)，即(t)/(6)=(8−t)/(10)
解得：t=3．

（2）由（1）知：抛物线的对称轴 x=3；
由A（0，6）、C（8，0）得：直线AC y=-(3)/(4)x+6，则 M（3，(15)/(4)）．
△AMN中，AM长为定值，若△AMN的周长最小，那么 AN+MN 的值最小；
取点M关于x轴的对称点M'，则M'（3，-(15)/(4)）；
设直线AM'的解析式为：y=kx+6，则：
3k+6=-(15)/(4)，k=-(13)/(4)
∴直线AM'：y=-(13)/(4)x+6
当y=0时，x=(24)/(13)；即 N（(24)/(13)，0）．

（3）过Q作QE⊥x轴于点E，则 QE=(3)/(5)QE=(3)/(5)t，CE=(4)/(5)QC=(4)/(5)t，OE=OC-CE=8-(4)/(5)t；
∴Q（8-(4)/(5)t，(3)/(5)t）．
①PC=OC-OP=8-t；
则 S=(1)/(2)PC•QE=(1)/(2)×（8-t）×(3)/(5)t=-(3)/(10)t²+(12)/(5)t（1＜t＜8）．
②PQ²=（8-(4)/(5)t-t）²+（(3)/(5)t）²=(18)/(5)t²-(144)/(5)t+64，PC²=（8-t）²=t²-16t+64，CQ²=t²；
当PQ=PC时，(18)/(5)t²-(144)/(5)t+64=t²-16t+64，解得：t₁=0（舍去），t₂=(64)/(13)；
当PQ=CQ时，(18)/(5)t²-(144)/(5)t+64=t²，解得：t₁=8（舍去），t₂=(40)/(13)；
当PC=CQ时，t²-16t+64=t²，解得：t=4．
∴当△PQC为等腰三角形时，t₁=(64)/(13)、t₂=(40)/(13)、t₃=4．