如图，点M（2，2），将一个90°的角尺的直角顶点放在点M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B，AP平分∠OAB，交OM于点P，PN⊥x轴于N，把角尺绕点M旋转时：（1）求证：OM平分∠AOB；（2

Question

如图，点M（2，2），将一个90°的角尺的直角顶点放在点M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B，AP平分∠OAB，交OM于点P，PN⊥x轴于N，把角尺绕点M旋转时：
（1）求证：OM平分∠AOB；
（2）求OA+OB的值；
（3）ON+(1)/(2)AB的值是否会发生变化？

Answer 1

证明：（1）做ME⊥x轴于E，MF⊥y轴于F，
∵M（2，2），∠FOE=∠MEO=∠MFO=90°，
∴OEMF是正方形，OE=2，OF=2，
∴MF=ME，
∵ME⊥x轴于E，MF⊥y轴于F，
∴OM平分∠EOF，即OM平分∠AOB；

（2）∵∠AMF+∠AME=∠AME+∠BME=90°，
∴∠AMF=∠BME，
在△AME和△BMF中，

∠MEA＝∠MFB

ME＝MF

∠EMA＝∠BMF

，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴AE=BF，
∴OA+OB=OA+OF+BF=OA+OF+AE=OE+OF=4；                               

（3）ON+(1)/(2)AB的值不会发生变化，
理由是：
过P作PQ⊥ME于Q，延长PQ到R，使QR=PQ，连接MR，
∵△AEM≌△BFM，
∴MB=MA，
∵∠AMB=90°，
∴∠MBA=∠MAB=45°，
∵OM平分∠AOB，AP平分∠BAO，∠BOA=90°，
∴∠∠MOA=45°，∠BAP=∠PAO，
∴∠∠MOA+∠PAO=∠MAB+∠BAP，
即∠MAP=∠MPA，
∴MP=MA，
∵∠MOE=45°，ME=OE=2，
∴∠OME=45°，
∵PR⊥ME，PQ=QR，
∴MP=MR，
∴MB=MP=MA=MR，
∴∠RMQ=∠PMQ=45°，
∴∠PMR=90°=∠BMA，
在△BMA和△PMR中，

MB＝MP

∠BMA＝∠PMR

MA＝MR

，
∴△BMA≌△PMR（SAS），
∴AB=PR，
∴ON+(1)/(2)AB=ON+(1)/(2)PR=ON+PQ=OE=2，
即ON+(1)/(2)AB的值不会发生变化．