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如图,点M(2,2),将一个90°的角尺的直角顶点放在点M处,角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B,AP平分∠OAB,交OM于点P,PN⊥x轴于N,把角尺绕点M旋转时:(1)求证:OM平分∠AOB;(2

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如图,点M(2,2),将一个90°的角尺的直角顶点放在点M处,角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B,AP平分∠OAB,交OM于点P,PN⊥x轴于N,把角尺绕点M旋转时:
(1)求证:OM平分∠AOB;
(2)求OA+OB的值;
(3)ON+
1
2
AB的值是否会发生变化?
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)做ME⊥x轴于E,MF⊥y轴于F,
∵M(2,2),∠FOE=∠MEO=∠MFO=90°,
∴OEMF是正方形,OE=2,OF=2,
∴MF=ME,
∵ME⊥x轴于E,MF⊥y轴于F,
∴OM平分∠EOF,即OM平分∠AOB;

(2)∵∠AMF+∠AME=∠AME+∠BME=90°,
∴∠AMF=∠BME,
在△AME和△BMF中,
∠MEA=∠MFB
ME=MF
∠EMA=∠BMF

∴△AME≌△BMF(ASA),
∴AE=BF,
∴OA+OB=OA+OF+BF=OA+OF+AE=OE+OF=4;                               

(3)ON+
1
2
AB的值不会发生变化,
理由是:
过P作PQ⊥ME于Q,延长PQ到R,使QR=PQ,连接MR,
∵△AEM≌△BFM,
∴MB=MA,
∵∠AMB=90°,
∴∠MBA=∠MAB=45°,
∵OM平分∠AOB,AP平分∠BAO,∠BOA=90°,
∴∠∠MOA=45°,∠BAP=∠PAO,
∴∠∠MOA+∠PAO=∠MAB+∠BAP,
即∠MAP=∠MPA,
∴MP=MA,
∵∠MOE=45°,ME=OE=2,
∴∠OME=45°,
∵PR⊥ME,PQ=QR,
∴MP=MR,
∴MB=MP=MA=MR,
∴∠RMQ=∠PMQ=45°,
∴∠PMR=90°=∠BMA,
在△BMA和△PMR中,
MB=MP
∠BMA=∠PMR
MA=MR

∴△BMA≌△PMR(SAS),
∴AB=PR,
∴ON+
1
2
AB=ON+
1
2
PR=ON+PQ=OE=2,
即ON+
1
2
AB的值不会发生变化.