设函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，−π2＜ϕ＜π2），给出以下四个论断：①它的图象关于直线x＝π12对称；②它的图象关于点（π3，0）对称；③它的最小正周期是T=π；④它在区间[−π6，0)上

Question

−(π)/(2)＜ϕ＜(π)/(2)），给出以下四个论断：①它的图象关于直线x＝(π)/(12)对称；②它的图象关于点（(π)/(3)，0）对称；③它的最小正周期是T=π；④它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数．
以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中的一个命题加以证明．(π)/(2)ππ22(π)/(2)ππ22x＝(π)/(12)对称；②它的图象关于点（(π)/(3)，0）对称；③它的最小正周期是T=π；④它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数．
以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中的一个命题加以证明．(π)/(12)ππ1212(π)/(3)，0）对称；③它的最小正周期是T=π；④它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数．
以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中的一个命题加以证明．(π)/(3)ππ33[−(π)/(6)，0)上是增函数．
以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中的一个命题加以证明．(π)/(6)ππ66

Answer 1

两个正确的命题为 （1）①③⇒②④；（2）②③⇒①④．
命题（1）的证明如下：由题设和③得ω=2，f（x）=sin（2x+ϕ）．
再由①得  2×(π)/(12)+ϕ＝kπ+(π)/(2)（k∈Z），即ϕ＝(π)/(3)+kπ（k∈Z），
因为−(π)/(2)＜ϕ＜(π)/(2)，得ϕ＝(π)/(3)（此时k=0），
所以f(x)＝sin(2x+(π)/(3))．
当x＝(π)/(3)时，2x+(π)/(3)＝π，sin(2x+(π)/(3))＝0，即y=f（x）经过点（(π)/(3)，0）
所以它的图象关于点（(π)/(3)，0）对称；
由f(x)＝sin(2x+(π)/(3))，2kπ−(π)/(2)≤2x+(π)/(3)≤2kπ+(π)/(2)，kπ−(5π)/(12)≤x≤kπ+(π)/(12)
f(x)＝sin(2x+(π)/(3))的单调递增区间是[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)
当k=0时，[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 2×(π)/(12)πππ121212+ϕ＝kπ+(π)/(2)πππ222（k∈Z），即ϕ＝(π)/(3)+kπ（k∈Z），
因为−(π)/(2)＜ϕ＜(π)/(2)，得ϕ＝(π)/(3)（此时k=0），
所以f(x)＝sin(2x+(π)/(3))．
当x＝(π)/(3)时，2x+(π)/(3)＝π，sin(2x+(π)/(3))＝0，即y=f（x）经过点（(π)/(3)，0）
所以它的图象关于点（(π)/(3)，0）对称；
由f(x)＝sin(2x+(π)/(3))，2kπ−(π)/(2)≤2x+(π)/(3)≤2kπ+(π)/(2)，kπ−(5π)/(12)≤x≤kπ+(π)/(12)
f(x)＝sin(2x+(π)/(3))的单调递增区间是[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)
当k=0时，[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 ϕ＝(π)/(3)πππ333+kπ（k∈Z），
因为−(π)/(2)＜ϕ＜(π)/(2)，得ϕ＝(π)/(3)（此时k=0），
所以f(x)＝sin(2x+(π)/(3))．
当x＝(π)/(3)时，2x+(π)/(3)＝π，sin(2x+(π)/(3))＝0，即y=f（x）经过点（(π)/(3)，0）
所以它的图象关于点（(π)/(3)，0）对称；
由f(x)＝sin(2x+(π)/(3))，2kπ−(π)/(2)≤2x+(π)/(3)≤2kπ+(π)/(2)，kπ−(5π)/(12)≤x≤kπ+(π)/(12)
f(x)＝sin(2x+(π)/(3))的单调递增区间是[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)
当k=0时，[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 −(π)/(2)πππ222＜ϕ＜(π)/(2)πππ222，得ϕ＝(π)/(3)（此时k=0），
所以f(x)＝sin(2x+(π)/(3))．
当x＝(π)/(3)时，2x+(π)/(3)＝π，sin(2x+(π)/(3))＝0，即y=f（x）经过点（(π)/(3)，0）
所以它的图象关于点（(π)/(3)，0）对称；
由f(x)＝sin(2x+(π)/(3))，2kπ−(π)/(2)≤2x+(π)/(3)≤2kπ+(π)/(2)，kπ−(5π)/(12)≤x≤kπ+(π)/(12)
f(x)＝sin(2x+(π)/(3))的单调递增区间是[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)
当k=0时，[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 ϕ＝(π)/(3)πππ333（此时k=0），
所以f(x)＝sin(2x+(π)/(3))．
当x＝(π)/(3)时，2x+(π)/(3)＝π，sin(2x+(π)/(3))＝0，即y=f（x）经过点（(π)/(3)，0）
所以它的图象关于点（(π)/(3)，0）对称；
由f(x)＝sin(2x+(π)/(3))，2kπ−(π)/(2)≤2x+(π)/(3)≤2kπ+(π)/(2)，kπ−(5π)/(12)≤x≤kπ+(π)/(12)
f(x)＝sin(2x+(π)/(3))的单调递增区间是[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)
当k=0时，[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 f(x)＝sin(2x+(π)/(3)πππ333)．
当x＝(π)/(3)时，2x+(π)/(3)＝π，sin(2x+(π)/(3))＝0，即y=f（x）经过点（(π)/(3)，0）
所以它的图象关于点（(π)/(3)，0）对称；
由f(x)＝sin(2x+(π)/(3))，2kπ−(π)/(2)≤2x+(π)/(3)≤2kπ+(π)/(2)，kπ−(5π)/(12)≤x≤kπ+(π)/(12)
f(x)＝sin(2x+(π)/(3))的单调递增区间是[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)
当k=0时，[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 x＝(π)/(3)πππ333时，2x+(π)/(3)＝π，sin(2x+(π)/(3))＝0，即y=f（x）经过点（(π)/(3)，0）
所以它的图象关于点（(π)/(3)，0）对称；
由f(x)＝sin(2x+(π)/(3))，2kπ−(π)/(2)≤2x+(π)/(3)≤2kπ+(π)/(2)，kπ−(5π)/(12)≤x≤kπ+(π)/(12)
f(x)＝sin(2x+(π)/(3))的单调递增区间是[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)
当k=0时，[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 2x+(π)/(3)πππ333＝π，sin(2x+(π)/(3))＝0，即y=f（x）经过点（(π)/(3)，0）
所以它的图象关于点（(π)/(3)，0）对称；
由f(x)＝sin(2x+(π)/(3))，2kπ−(π)/(2)≤2x+(π)/(3)≤2kπ+(π)/(2)，kπ−(5π)/(12)≤x≤kπ+(π)/(12)
f(x)＝sin(2x+(π)/(3))的单调递增区间是[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)
当k=0时，[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 sin(2x+(π)/(3)πππ333)＝0，即y=f（x）经过点（(π)/(3)，0）
所以它的图象关于点（(π)/(3)，0）对称；
由f(x)＝sin(2x+(π)/(3))，2kπ−(π)/(2)≤2x+(π)/(3)≤2kπ+(π)/(2)，kπ−(5π)/(12)≤x≤kπ+(π)/(12)
f(x)＝sin(2x+(π)/(3))的单调递增区间是[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)
当k=0时，[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 (π)/(3)πππ333，0）
所以它的图象关于点（(π)/(3)，0）对称；
由f(x)＝sin(2x+(π)/(3))，2kπ−(π)/(2)≤2x+(π)/(3)≤2kπ+(π)/(2)，kπ−(5π)/(12)≤x≤kπ+(π)/(12)
f(x)＝sin(2x+(π)/(3))的单调递增区间是[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)
当k=0时，[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 (π)/(3)πππ333，0）对称；
由f(x)＝sin(2x+(π)/(3))，2kπ−(π)/(2)≤2x+(π)/(3)≤2kπ+(π)/(2)，kπ−(5π)/(12)≤x≤kπ+(π)/(12)
f(x)＝sin(2x+(π)/(3))的单调递增区间是[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)
当k=0时，[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 f(x)＝sin(2x+(π)/(3)πππ333)，2kπ−(π)/(2)≤2x+(π)/(3)≤2kπ+(π)/(2)，kπ−(5π)/(12)≤x≤kπ+(π)/(12)
f(x)＝sin(2x+(π)/(3))的单调递增区间是[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)
当k=0时，[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 2kπ−(π)/(2)πππ222≤2x+(π)/(3)πππ333≤2kπ+(π)/(2)πππ222，kπ−(5π)/(12)≤x≤kπ+(π)/(12)
f(x)＝sin(2x+(π)/(3))的单调递增区间是[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)
当k=0时，[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 kπ−(5π)/(12)5π5π5π121212≤x≤kπ+(π)/(12)πππ121212
f(x)＝sin(2x+(π)/(3))的单调递增区间是[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)
当k=0时，[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 f(x)＝sin(2x+(π)/(3)πππ333)的单调递增区间是[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)
当k=0时，[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 [kπ−(5π)/(12)5π5π5π121212，kπ+(π)/(12)πππ121212](k∈Z)
当k=0时，[kπ−(5π)/(12)，kπ+(π)/(12)](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 [kπ−(5π)/(12)5π5π5π121212，kπ+(π)/(12)πππ121212](k∈Z)为[−(5π)/(12)，(π)/(12)]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 [−(5π)/(12)5π5π5π121212，(π)/(12)πππ121212]，
而区间[−(π)/(6)，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 [−(π)/(6)πππ666，0)是[−(5π)/(12)，(π)/(12)]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 [−(5π)/(12)5π5π5π121212，(π)/(12)πππ121212]的子集
所以y=f（x）它在区间[−(π)/(6)，0)上是增函数 [−(π)/(6)πππ666，0)上是增函数