如图,三角形ABC的三个顶点都在圆O上,AB=AC,点P是弧AB的中点,角BPC=60度,连接PA,PB,PC.求证：AC=根号3AP

Question

Answer 1

证明：
∵∠BPC=60° ∴∠BAC=60°（同弧所对圆周角相等）
∵AB=AC ∴△ABC是正三角形（两边相等且夹角为60°的三角形是正三角形）
∵P是AB弧中点 ∴PA=PB（在同圆中,等弧对等弦）
又AC=BC PC=PC（公共边）
∴△APC≌△BPC（S、S、S）
∴∠ACP=∠BCP=1/2∠ACB=1/2×60°=30°
∠APC=∠BPC=60°
得到 ∠PAC=∠PBC=90°
∴△PAC是直角三角形 且∠ACP=30°
∴AC=√3AP（60°对的直角边是30°对的直角边的根号三倍）