已知二次函数y=（1/4）x^2（x>0）的图像上的三点A1、A2、A3到P（0,1）的距离分别是2、3、4.（1）分别求A1、A2、A3各点的坐标（2）观察A1、A2、A3各点的纵坐标与PA1、PA2、PA3的关系,猜想抛物线y=（1

Answer 1

已知二次函数y=（1/4）x^2（x>0）的图像上的三点A1、A2、A3到P（0,1）的距离分别是2、3、4.
（1）分别求A1、A2、A3各点的坐标
（2）观察A1、A2、A3各点的纵坐标与PA1、PA2、PA3的关系,猜想抛物线y=（1/2）x^2上任意一点A是否也有这种关系 如果存在这种关系,加以证明
(1)解析：∵曲线y=x^2/4（x>0）上的三点A1(x1,y1)、A2(x2,y2)、A3(x3,y3)到P(0,1)的距离分别是2、3、4
∴(x1)^2+(x1^2/4-1)^2=4==>x1^2=4==>x1=2
(x2)^2+(x2^2/4-1)^2=9==>x2^2=8==>x2=2√2
(x3)^2+(x3^2/4-1)^2=16==>x3^2=12==>x3=2√3
∴A1(2,1),A2(2√2,2¬),A3(2√3,3)
(2)解析：由（1）观察可知PA1、PA2、PA3与A1、A2、A3各点的纵坐标间的关系为：
(x)^2+(x^2/4-1)^2=(x)^2+(x^2-4)^2/16=(x^2+4)^2/16=(x^2/4+1)^2
即PA=yA+1
若抛物线y=（1/2）x^2上一点A(x,x^2/2),到P(0,1)的距离为：
(x)^2+(x^2/2-1)^2=(x)^2+(x^2-2)^2/4=(x^2/2)^2+1
显然,y=（1/2）x^2上任意一点A也存在一种关系,但这种关系与上述关系不同为：
PA^2=yA^2+1