如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，设点M的横坐标为m，请用

Question

如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，设点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），则：
a（0+1）（0-3）=3，a=-1；
∴抛物线的解析式：y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．

（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

3k+b=0

b=3

，
解得

k=-1

b=3

；
故直线BC的解析式：y=-x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，-m+3）、N（m，-m²+2m+3）；
∴故MN=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m（0<m<3）．

（3）如图；
∵S_△BNC=S_△MNC+S_△MNB=(1)/(2)MN（OD+DB）=(1)/(2)MN•OB，
∴S_△BNC=(1)/(2)（-m²+3m）•3=-(3)/(2)（m-(3)/(2)）²+(27)/(8)（0<m<3）；
∴当m=(3)/(2)时，△BNC的面积最大，最大值为 (27)/(8)．