如图，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3，4），且OA=OB（1）求两个函数的解析式；（2）直线AB交x轴于点C，求△AOC的面积；（3）在x轴上存在一点p，使△AOP是等腰三

Question

如图，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3，4），且OA=OB

（1）求两个函数的解析式；   
（2）直线AB交x轴于点C，求△AOC的面积；
（3）在x轴上存在一点p，使△AOP是等腰三角形，直接写出所有符合要求的点P的坐标．

Answer 1

（1）设直线OA为y=kx．
∵y=kx经过点（3，4），
∴3k=4，k=(4)/(3)，
∴y=(4)/(3)x．
设直线AB为y=ax+b，
∵y=ax+b经过（3，4），（0，-5），
∴

b=-5

3a+b=4

，
解得：

a=3

b=-5

，
∴y=3x-5．

（2）S_△AOB=(1)/(2)|OB|×3=(1)/(2)×5×3=7.5；

（3）把（3，4）代入y₁=k₁x得到：3k₁=4，
解得：k₁=(4)/(3)，
当OA是底边时，OA的中点是（(3)/(2)，2），设过OA的中点且与OA垂直的直线的解析式是：y=-(3)/(4)x+b，
根据题意得：b=(25)/(8)，
直线的解析式是：y=-(3)/(4)x+(25)/(8)，
当y=0时，x=(25)/(6)，
则P的坐标是（(25)/(6)，0）；
当OA是腰，O是顶角的顶点时，OP=OA=5，则P的坐标是（5，0）或（-5，0）；
当OA是腰，A是顶角的顶点时，AP=AO，则P与O关于x=3对称，则P的坐标是（6，0）．
则P的坐标是：（(25)/(6)，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．