设n和k都是自然数,其中k≥2,证明:n^k可以写成n个连续奇数之和

Question

设n和k都是自然数,其中k≥2,证明:n^k可以写成n个连续奇数之和

Answer 1

设第一个奇数为a
则 n^k=a+(a+2)+(a+4)+[a+2(n-1)]=na+[2+4+...+2(n-1)]=na+n(n-1)=n(a+n-1)
n^(k-1)=a+n-1
a=n^(k-1)-n+1
由于k>=2,因此k-1>=1,而且是自然数,于是 n^(k-1)-n>0,因此n^(k-1)-n+1是个自然数.
这就是说,我们只要取第一个奇数为 n^(k-1)-n+1,则由它开始,连续n个奇数的和恰好等于n^k