已知m,n互质,x为整数证明[(m+n)nx+mn]/[m(m+n)]不是整数

Question

已知m,n互质,x为整数
证明[(m+n)nx+mn]/[m(m+n)]不是整数

Answer 1

反证法：
若[(m+n)nx+mn]/[m(m+n)]为整数,则(m+n)nx+mn为m的倍数,
而(m+n)nx+mn=m(n+nx)+xn^2
则xn^2为m的倍数,又m,n互质,所以x为m的倍数
设x=km k为正整数
[(m+n)nx+mn]/[m(m+n)]
=[(m+n)nkm+mn]/[m(m+n)]
=[(m+n)nk+n]/(m+n)
=nk+n/(m+n)
显然 0