已知m＞1,m是一个整数,m整除[(m-1)!+1] ,求证m一定会是一个质数.

Question

已知m＞1,m是一个整数,m整除[(m-1)!+1] ,求证m一定会是一个质数.

Answer 1

证明：反设m不为质数,假设m的最小质因子为p(p>2),显然,m>=p^2
那么m-1>=p^2-1=(p-1)(p+1)>=p+1>p
显然p|(m-1)!
根据题意m|(m-1)!+1,显然有p|(m-1)!+1
=>p|((m-1)!+1-(m-1)!)=>p|1 矛盾
故反设不成立,即原命题成立
证毕!
这其实是费尔马小定理