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正方形ABCD中,CE⊥与∠CAD的平分线与E,AE交DC于F.求证CE=二分之一AF
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正方形ABCD中,CE⊥与∠CAD的平分线与E,AE交DC于F.求证CE=二分之一AF
▼优质解答
答案和解析
连接AC,作FG⊥AC于G
∵∠D=∠AGF=90°；∠DAF=∠CAF（角平分线定理）；AF公共边
∴△ADF≌△AGF
∴FG=FD
又∵△ADC是等腰直角三角形
∴△CFG也是等腰三角形,CF=√2FG=√2AF
设DF长为单位1,根据勾股定理
在△CFG中
CG=FG=DF=1；CF=√2
在△ACD中
AD=CD=DF+CF=1+√2；AC=2+√2
在△ADF中
AF=√（4+2√2）
∵∠DAF=∠CAF；∠ADC=∠AEC=90°；AC＞AF
∴△ADF∽△AEC
∴AF/DF=AC/CE.①
把AF,DF,AC代入①中
CE=（2+√2）/√（4+2√2）
∴CE=AF/2
∵∠D=∠AGF=90°；∠DAF=∠CAF（角平分线定理）；AF公共边
∴△ADF≌△AGF
∴FG=FD
又∵△ADC是等腰直角三角形
∴△CFG也是等腰三角形,CF=√2FG=√2AF
设DF长为单位1,根据勾股定理
在△CFG中
CG=FG=DF=1；CF=√2
在△ACD中
AD=CD=DF+CF=1+√2；AC=2+√2
在△ADF中
AF=√（4+2√2）
∵∠DAF=∠CAF；∠ADC=∠AEC=90°；AC＞AF
∴△ADF∽△AEC
∴AF/DF=AC/CE.①
把AF,DF,AC代入①中
CE=（2+√2）/√（4+2√2）
∴CE=AF/2
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